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2014年天津高考理科数学试题及答案 word版本

2014年06月10日 文/艳男 4715次阅读

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2014年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)

数学(理工类)

              本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟。第12页,第35页。

答卷前,考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

              祝各位考生考试顺利!

注意事项:

1.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

2本卷共8小题,每小题5分,共40分。

参考公式:

如果事件互斥,那么                                          如果事件相互独立,那么

                                                                      .

圆柱的体积公式.            圆锥的体积公式.

其中表示柱的底面面积,          其中表示圆锥的底面面积,

表示柱的高.                      表示圆锥的高.

              一、选择题:在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.

1是虚数单位,复数(  )

    (A    (B  (C  (D

2)设变量满足约束条件则目标函数的最小值为(  )

    (A2    (B3   (C4       (D5

3阅读右边的程序框图,运行相应的程序,输出的的值为(  )

 

A15       B105

C245      D945

4函数的单调递增区间(  )

A      B

C      D

5已知双曲线的一条渐近线平行于直线,双曲线的一个焦点在直线上,则双曲线的方程为(  )

A        B

C     (D

6如图,是圆的内接三角形,的平分线交圆于点,交于点,过点的圆的切线与的延长线交于点.在上述条件下,给出下列四个结论:平分;②;③;④.

则所有正确结论的序号是(  )

A    B③④    C②③    D②④

7,则|”是“”的(  )

A充要不必要条件    B必要不充分条件

C充要条件        (D既不充要也不必要条件

8已知菱形的边长为2,点分别在边上,.,则(    )

A    (B    (C    (D

注意事项:

              1.用黑色墨水钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

              2.本卷共12小题,共110分。

二、填空题(本大题共6个小题,每小题5分,共30.把答案填在题中横线上.

9某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方法,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4556,则应从一年级本科生中抽取_______名学生.

10)已知一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为_______.

11是首项为,公差为-1的等差数列,为其前项和.成等比数列,则的值为__________.

12)在中,内角所对的边分别是.已知,则的值为_______.

13在以为极点的极坐标系中,圆和直线相交于两点.是等边三角形,则的值为___________.

14已知函数.若方程恰有4个互异的实数根,则实数的取值范围为__________.

三、解答题(本题共6道大题,满分80解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤

15)(本小题满分13

已知函数.

)求的最小正周期;

)求区间上的最大值和最小值.

 

16)(本小题满分13

某大学志愿者协会有6名男同学,4名女同学. 在这10同学中,3同学来自数学学院,其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院. 现从这10名同学中随机选取3名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同).

)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率

为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量的分布列和数学期望.

 

17)(本小题满分13

如图,在四棱锥中,底面,点为棱的中点.

)证明

)求直线与平面所成角的正弦值

为棱上一点,满足

求二面角的余弦值.

 

18)(本小题满分13

设椭圆)的左、右焦点为右顶点为,上顶点为.已知.

)求椭圆的离心率

)设为椭圆上异于其顶点的一点,以线段为直径的圆经过点,经过原点的直线与该圆相切. 求直线的斜率.

 

19)(本小题满分14

已知均为给定的大于1的自然数.设集合,集合.

)当时,用列举法表示集合

)设,其中

 

20)(本小题满分14

已知函数.已知函数有两个零点,且.

)求的取值范围

)证明  随着的减小而增大

证明  随着的减小而增大.

 

 

 

 

参考答案及解析

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

A

B

B

D

A

D

C

C

1是虚数单位,复数(  )

    (A    (B  (C  (D

解:A    .

2)设变量满足约束条件则目标函数的最小值为(  )

    (A2    (B3   (C4       (D5

解:B    作出可行域,如图

结合图象可知,当目标函数通过点时,取得最小值3.

3阅读右边的程序框图,运行相应的程序,输出的的值为(  )

A15       B105

C245      D945

解:B    时,时,

时,输出.

4函数的单调递增区间(  )

A      B

C      D

解:D    ,解得.由复合函数的单调性知的单调递增区间为.

5已知双曲线的一条渐近线平行于直线,双曲线的一个焦点在直线上,则双曲线的方程为(  )

A        B

C     (D

解:A    依题意得,所以,双曲线的方程为.

6如图,是圆的内接三角形,的平分线交圆于点,交于点,过点的圆的切线与的延长线交于点.在上述条件下,给出下列四个结论:平分;②;③;④.

则所有正确结论的序号是(  )

A    B③④    C②③    D②④

解:D    由弦切角定理得,又,所以,所以,即,排除AC.

,排除B.

7,则|”是“”的(  )

A充要不必要条件    B必要不充分条件

C充要条件        (D既不充要也不必要条件

解:C    ,则,所以上的增函数,“”是“”的充要条件.

8已知菱形的边长为2,点分别在边上,.,则(    )

A    (B    (C    (D

解:C    因为,所以.

因为,所以.

因为,所以,即  ①

同理可得  ②,①+②得.

注意事项:

              1.用黑色墨水钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

              2.本卷共12小题,共110分。

二、填空题(本大题共6个小题,每小题5分,共30.把答案填在题中横线上.

9某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方法,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4556,则应从一年级本科生中抽取_______名学生.

解:60    应从一年级抽取.

10)已知一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为_______.

解:    该几何体的体积为.

11是首项为,公差为-1的等差数列,为其前项和.成等比数列,则的值为__________.

解:    依题意得,所以,解得.

12)在中,内角所对的边分别是.已知,则的值为_______.

解:    因为,所以,解得.

所以.

13在以为极点的极坐标系中,圆和直线相交于两点.是等边三角形,则的值为___________.

解:3    圆的方程为,直线为.

因为是等边三角形,所以其中一个交点坐标为,代入圆的方程可得.

14已知函数.若方程恰有4个互异的实数根,则实数的取值范围为__________.

解:

显然.

 

(ⅰ)当相切时,,此时恰有3个互异的实数根.

(ⅱ)当直线与函数相切时,,此时恰有2个互异的实数根.

结合图象可知.

2:显然,所以.

,则.

因为

所以.

结合图象可得.

 

 

三、解答题(本题共6道大题,满分80解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤

15)(本小题满分13

已知函数.

)求的最小正周期;

)求区间上的最大值和最小值.

15本小题主要考查两角和与差的正弦公式、二倍角公式与余弦公式,三角函数的最小正周期、单调性等基础知识. 考查基本运算能力. 满分13.

解:由已知,有

                        

                        

                        

                         .

所以,的最小正周期.

解:因为在区间上是减函数,在区间上是增函数.

.

所以,函数在闭区间上的最大值为,最小值为.

 

16)(本小题满分13

某大学志愿者协会有6名男同学,4名女同学. 在这10同学中,3同学来自数学学院,其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院. 现从这10名同学中随机选取3名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同).

)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率

为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量的分布列和数学期望.

16本小题主要考查古典概型及其概率计算公式,互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识. 考查运用概率知识解决简单实际问题的能力. 满分13.

解:设“选出的3名同学来自互不相同的学院”为事件,则

.

所以,选出的3名同学来自互不相同学院的概率为.

所以,的最小正周期.

解:随机变量的所有可能值为0123.

.

 

所以,随机变量的分布列是

0

1

2

3

随机变量的数学期望.

 

17)(本小题满分13

如图,在四棱锥中,底面,点为棱的中点.

)证明

)求直线与平面所成角的正弦值

为棱上一点,满足

求二面角的余弦值.

 

17本小题主要考查空间两条直线的位置关系,二面角、直线与平面所成的角,直线与平面垂直等基础知识. 考查用空间向量解决立体几何问题的方法. 考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力. 满分13.

(方法一)

依题意,以点为原点建立空间直角坐标系(如图),可得.为棱的中点,得.

证明向量,故. 所以,.

解:向量.

为平面的法向量,则

不妨令,可得为平面的一个法向量.于是有

.

    所以,直线与平面所成角的正弦值为.

解:向量.

由点在棱上,设.

.

,得

因此,,解得..

为平面的法向量,则

不妨令,可得为平面的一个法向量.

取平面的法向量,则

.

易知,二面角是锐角,所以其余弦值为.

(方法二)

证明如图,取中点,连接.

由于分别为的中点, 故,且,又由已知,可得,故四边形为平行四边形,所以.

    因为底面,故,而,从而平面,因为平面,于是,又,所以.

解:连接,由平面,得,而,故.

又因为的中点,故,可得,所以平面,故平面平面.

所以直线在平面内的射影为直线,而,可得为锐角,故为直线与平面所成的角.

依题意,有,而中点,可得,进而.

故在直角三角形中,,因此.

    所以,直线与平面所成角的正弦值为.

解:如图,在中,过点于点.

因为底面,故底面,从而.,得平面,因此.

在底面内,可得,从而.在平面内,作于点,于是.

由于,故,所以四点共面.

,得平面,故.

所以为二面角的平面角.

中,

由余弦定理可得.

所以,二面角的斜率值为.

18)(本小题满分13

设椭圆)的左、右焦点为右顶点为,上顶点为.已知.

)求椭圆的离心率

)设为椭圆上异于其顶点的一点,以线段为直径的圆经过点,经过原点的直线与该圆相切. 求直线的斜率.

18本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识. 考查用代数方法研究圆锥曲线的性质. 考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力.满分13.

解:椭圆的右焦点的坐标为.,可得,又,则.

所以,椭圆的离心率.

,所以,解得.

解:.故椭圆方程为.

.,有.

由已知,有,即.,故有

.        ①

又因为点在椭圆上,故

.         ②

①和②可得.而点不是椭圆的顶点,故,代入①得,即点的坐标为.

设圆的圆心为,则,进而圆的半径.

设直线的斜率为,依题意,直线的方程为.

与圆相切,可得,即

整理得,解得.

所以,直线的斜率为.

 

19)(本小题满分14

已知均为给定的大于1的自然数.设集合,集合.

)当时,用列举法表示集合

)设,其中. 证明:若,则.

19本小题来自:http://www.ccutu.com/gaokao/主要考查集合的含义和表示,等比数列的前项和公式,不等式的证明等基础知识和基本方法. 考查运算能力、分析问题和解决问题的能力. 满分14.

解:时,.

可得,.

证明:,可得

    

    

     .

    所以,.

 

20)(本小题满分14

已知函数.已知函数有两个零点,且.

)求的取值范围

 

)证明  随着的减小而增大

证明  随着的减小而增大.

20本小题主要考查函数的零点、导数的运算、利用导数研究函数的性质等基础知识和方法. 考查函数思想、化归思想. 考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力. 满分14.

解:,可得.

下面分两种情况讨论:

1

    上恒成立,可得上单调递增,不合题意.

2时,

    由,得.

变化时,的变化情况如下表:

0

这时,的单调递增区间是;单调递减区间是.

于是,“函数有两个零点”等价于如下条件同时成立:

1°2°存在,满足

3°存在,满足.

,即,解得,而此时,取,满足,且;取,满足,且.

所以,的取值范围是.

证明:,有.

,由来自:http://www.ccutu.com/gaokao/上单调递增,在上单调递减. 并且,当时,;当时,.

由已知,满足.,及的单调性,可得.

    对于任意的,设,其中,其中.

因为上单调递增,故由,即,可得;类似可得.

又由,得.

所以,随着的减小而增大.

证明:,可得.

.

,则,且解得.所以,

.    ①

,则.

,得.

时,.因此,上单调递增,故对于任意的,由此可得,故上单调递增.

因此,由①可得随着的增大而增大.

而由(),随着的减小而增大,所以随着的减小而增大.

 

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