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2014年河南高考理科数学试题及答案 word最终版

2014年06月09日 文/萌萌 12411次阅读

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2014年普通高等学校招生全国统一考试

 

2014年普通高等学校招生全国统一考试

 

理科数学

 

注意事项:

 

1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答第Ⅰ卷时,选出每个小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮搽干净后,再选涂其他答案标号,写在本试卷上无效.

3. 回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,答在本试题上无效.

4. 考试结束,将本试题和答题卡一并交回.

 

第Ⅰ卷

 

一.选择题:12小题每小题5分,共60分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的一项。

 

1.已知集合A={|},B={|-2≤<2=,则=

 

.[-2,-1]    .[-1,2)    .[-1,1]    .[1,2)

 

2.=

 

.   .   .    .

 

3.设函数的定义域都为R,且时奇函数,是偶函数,则下列结论正确的是

 

.是偶函数   .||是奇函数

 

.||是奇函数  .||是奇函数

 

4.已知是双曲线的一个焦点,则点的一条渐近线的距离为

 

.   .3    .    .

 

5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率

 

.    .   .     .

 

6.如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角的始边为射线,终边为射线,过点作直线的垂线,垂足为,将点到直线的距离表示为的函数,则=在[0,]上的图像大致为

 

7.执行下图的程序框图,若输入的分别为1,2,3,则输出的=

 

   

 

 

.  .    .   .

 

8.设,且,则

 

.    .   .    .

 

9.不等式组的解集记为.有下面四个命题:

 

,

 

.

 

其中真命题是

 

  .    .    .   .

 

10.已知抛物线的焦点为,准线为上一点,是直线的一个焦点,若,则=

 

.   .   .3    .2

 

11.已知函数=

 

存在唯一的零点,且>0,则的取值范围为

 

.(2,+∞)   .(-∞,-2)    .(1,+∞)     .(-∞,-1)

 

12.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的个条棱中,最长的棱的长度为

 

.   .   .6   .4

 

 

 

 

本卷包括必考题和选考题两个部分。第(13)题-第(21)题为必考题,每个考生都必须作答。第(22)题-第(24)题为选考题,考生根据要求作答。

 

二.填空题:本大题共四小题,每小题5分。

 

13.的展开式中的系数为        .(用数字填写答案)

 

14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,

 

甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;

 

乙说:我没去过C城市;

 

丙说:我们三人去过同一个城市.

 

由此可判断乙去过的城市为         .

 

15.已知A,B,C是圆O上的三点,若,则的夹角为      .

 

16.已知分别为的三个内角的对边,=2,且,则面积的最大值为          .

 

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

 

17.(本小题满分12分)已知数列{}的前项和为=1,,其中为常数.

 

(Ⅰ)证明:

 

(Ⅱ)是否存在,使得{}为等差数列?并说明理由.

 

18. (本小题满分12分)从某企业的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:

 

 

()求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差(同一组数据用该区间的中点值作代表);本文来自有途高考网http://gaokao.ccutu.com

 

(Ⅱ)由频率分布直方图可以认为,这种产品的质量指标值服从正态分布,其中近似为样本平均数近似为样本方差.

 

(i)利用该正态分布,求

 

(ii)某用户从该企业购买了100件这种产品,记表示这100件产品中质量指标值为于区间(187.8,212.2)的产品件数,利用(i)的结果,求.

 

附:≈12.2.

,则=0.6826,=0.9544.

 

19. (本小题满分12分)如图三棱锥中,侧面为菱形,.

 

() 证明:

 

(Ⅱ)若,AB=Bc,求二面角的余弦值.

20. (本小题满分12分) 已知点(0,-2),椭圆的离心率为是椭圆的焦点,直线的斜率为为坐标原点.

 

()的方程;有图高考网

 

(Ⅱ)设过点的直线相交于两点,当的面积最大时,求的方程.

 

21. (本小题满分12分)设函数,曲线在点(1,处的切线为. (); (Ⅱ)证明:.

 

请考生第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。

 

22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲

 

如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,AB的延长线与DC的延长线交于点E,且CB=CE

 

.()证明:∠D=∠E;

 

(Ⅱ)设AD不是⊙O的直径,AD的中点为M,且MB=MC,证明:△ADE为等边三角形.

 

23. (本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程

 

已知曲线,直线为参数).

 

()写出曲线的参数方程,直线的普通方程;

 

(Ⅱ)过曲线上任一点作与夹角为的直线,交于点,求的最大值与最小值.

 

24. (本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲

 

,且.

 

()的最小值;

 

(Ⅱ)是否存在,使得?并说明理由.

 

2014年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学试题答案(B卷)

 

一选择题

  1. A      2.D      3.C     4.A       5.D       6.C

7   .D      8. C     9. B    10.B       11.C      12.B

 

二填空题

13.-20     14.A     15.90度     16.

三解答题

 

17.解:

I)由题设,=bSn-1,=bSn-1

两式相减的=b

由于,所以

)由题设,由(I)知

解得b=4

,由此可得

{}是首项为1,公差为4的等差数列,

{}是首项为3,公差为4的等差数列,=4n-1

所以  

因此存在b=4,使得数列为等差数列

 

(18)解

I)收取产品的质量指标值的样本平均数a和样本方差b分别是

      a=200

      b=150

)由上诉可此,Z~N(200,165),从而

P(187.8<Z<212.2)=P(200-12.2<Z200+12.2)=0.6826

一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.6826

依题意可知X~B(100,0.6826),所以EX=100

 

(19)解:

(I) 连结,交于点O,连结AO。因为侧面为菱形,所以,且O为的中点。

,所以平面ABO,由于AO平面ABO,故

,故AC=,                        ……6分

(II)因为,且O为的中点,所以AO=CO。

又因为AB=BC,所以

,从而OA、OB、两两相互垂直。

   以O为坐标原点,的方向为x轴正方向,为单位长,建立如图所示的空间指教坐标系O-xyz.

   因为,所以为等边三角角,又AB=BC,则A,B(1,0,0),,,,

式平面的法向量,则

               

 

所以,取n=(1,

设m是平面的法向量,则

同理可取m=(1,-

则cos=

所以,所求角A-A2B2-C1的余弦值为

 

(20)解:

(1)设F(C,0),由条件知,

故E的方程为

 

故设l:y=kx-2,P(x1,x2)

将y=kx-2代入+y2=1得

     (1+4k2)x2-16kx+12=0

>0,即时,=

从而 |PQ|=||=

又点O到直线PQ的距离d=。所以的面积

                      ………………..9分

,则t﹥0,

因为t+≥4.当且仅当t=2,即k=时等号成立,且满足﹥0.

所以,△OPQ的面积最大时,l的方程为

                                            ………………….12分

 

(21)解:

I)函数f(x)的定义域为,f(x)=

由题意可得f(1)=2  ,f(1)=e

故a=1,b=2………………5分

II)由(I)知,f(x)=,从而f(x)>1等价于xlnx>.

设函数g(x)=xlnx,则g(x)=1+lnx

所以当x(0, ) 时,g(x)<0;当x)时,g(x)>0.

故g(x)在(0,)单调递减,在(,+)单调递增,从而g(x)在的最小值为g()=- ……………8分

设函数h(x)= ,则h(x)= .

所以当时,h(x)>0;当时,h(x)<0.

故h(1)在(0,1)单调递增,在单调递减,从而h(x)在的最大值为h(1)=

综上,当x>0时,g(x)>h(x),即f(X)>1……………………….12分

 

(22)解:

(I)由题设知A,B,C,D四点共圆,所以D=CBE由已知得CBE=E,故D=E……5分

(II)设BC的中点为N,连结MN,则由MB=MC知MN⊥BC,故O在直线MN上。

又AD不是O的直径,M为AD的中点,故OM⊥AD,即MN⊥AD

所以AD//BC,故A=CBE

CBE=E,故A=E。由(I)知,D=E,所以ADE为等边三角形。

 

(23)解:

(I)曲线C的参数方程为为参数)

直线l的普通方程为2x+y-6=0

(II)曲线C上任意一点P()到l的距离为

,其中为锐角,且tan=

=-1时,取得最大值,最大值为

=1时,取得最小值,最小值为

 

(24)解:

(I)由,得ab2,且当a=b=时等号成立

所以的最小值为

(II)由(I)知,2a+3b

由于>6,从而不存在a,b,使得2a+3b=6

 

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