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三角函数诱导公式记忆口诀 如何推导三角函数

2018-09-13 17:18:45 文/刘美娟 9次阅读

三角函数一般用于计算三角形中未知长度的边和未知的角度,在导航、工程学以及物理学方面都有广泛的用途。下文有途网小编给大家整理了三角函数诱导公式的口诀和推导,供参考!

三角函数诱导公式记忆口诀 如何推导三角函数

三角函数诱导公式的记忆方法口诀

奇变偶不变,符号看象限。

“奇、偶”指的是π/2的倍数的奇偶,“变与不变”指的是三角函数的名称的变化:“变”是指正弦变余弦,正切变余切。(反之亦然成立)“符号看象限”的含义是:把角α看做锐角,不考虑α角所在象限,看n·(π/2)±α是第几象限角,从而得到等式右边是正号还是负号。

通用口诀:

“一全正;二正弦;三正切;四余弦”。

1、第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”;

2、第二象限内只有正弦是“+”,其余全部是“-”;

3、第三象限内只有正切和余切是“+”,其余全部是“-”;

4、第四象限内只有余弦是“+”,其余全部是“-”。

三角函数诱导公式的推导

万能公式推导

sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/[cos2(α)+sin2(α)],

(因为cos2(α)+sin2(α)=1)

再把分式上下同除cos^2(α),可得sin2α=2tanα/[1+tan2(α)]

然后用α/2代替α即可。

同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。

三倍角公式推导

tan3α=sin3α/cos3α

=(sin2αcosα+cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα)

=[2sinαcos2(α)+cos2(α)sinα-sin3(α)]/[cos3(α)-cosαsin2(α)-2sin2(α)cosα]

上下同除以cos3(α),得:

tan3α=[3tanα-tan3(α)]/[1-3tan2(α)]

sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα

=2sinαcos2(α)+[1-2sin2(α)]sinα

=2sinα-2sin3(α)+sinα-2sin3(α)

=3sinα-4sin3(α)

cos3α=cos(2α+α)=cos2αcosα-sin2αsinα

=[2cos2(α)-1]cosα-2cosαsin2(α)

=2cos3(α)-cosα+[2cosα-2cos3(α)]

=4cos3(α)-3cosα

sin3α=3sinα-4sin3(α)

cos3α=4cos3(α)-3cosα

和差化积公式推导

首先,我们知道sin(a+b)=sinacosb+cosasinb,sin(a-b)=sinacosb-cosasinb

我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sinacosb

同理,若把两式相减,就得到cosasinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]/2

同样的,我们还知道cos(a+b)=cosacosb-sinasinb,cos(a-b)=cosacosb+sinasinb

所以,把两式相加,我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosacosb

同理,两式相减我们就得到sinasinb=-[cos(a+b)-cos(a-b)]/2

这样,我们就得到了积化和差的公式:

cosasinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]/2

sinasinb=-[cos(a+b)-cos(a-b)]/2

好,有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式

我们把上述四个公式中的a+b设为x,a-b设为y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2

把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式:

sinx+siny=2sin[(x+y)/2]cos[(x-y)/2]

sinx-siny=2cos[(x+y)/2]sin[(x-y)/2]

cosx+cosy=2cos[(x+y)/2]cos[(x-y)/2]

cosx-cosy=-2sin[(x+y)/2]sin[(x-y)/2]

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