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2018年山西高考文科数学模拟冲刺试题【含答案】

程爽2018-04-25 13:58:41

2018年山西高考文科数学模拟冲刺试题【含答案】

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的

1.已知集合A={(x,y)|y=x2},B={(x,y)|2x﹣y﹣1=0},则A∩B=(  )

A.x=1,y=1              B.(1,1)              C.{1,1}              D.{(1,1)}

3.若直线l:xsinθ+2ycosθ=1与圆C:x2+y2=1相切,则直线l的方程为(  )

A.x=1              B.x=±1              C.y=1              D.y=±1

8.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(  )

A.44              B.32              C.10+6              D.22+6

11.执行如图所示的程序框图(其中[x]表示不超过实数x的最大整数),则运行后输出的结果是(  )

A.31              B.33              C.35              D.37

14.已知函数f(x)=x3+ax2+3x在定义域上是增函数,则实数a的取值范围为      .

15.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,则函数f(x)在区间[0,]上的最小值为      .

16.F为抛物线y2=12x的焦点,过F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A,过A作AH垂直抛物线的准线于H,若直线l的倾角α∈(0,],则△AFH面积的最小值为      .

 

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

18.在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧面A1ACC1⊥底面ABC,M为CC1的中点,∠ABC=90°,AC=A1A,∠A1AC=60°,AB=BC=2.

(Ⅰ)求证:BA1=BM;

(Ⅱ)求三棱锥C1﹣A1B1M的体积.

19.为评估设备M生产某种零件的性能,从设备M生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本,测量其直径后,整理得到下表:

直径/mm

58

59

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

73

合计

件数

1

1

3

5

6

19

33

18

4

4

2

1

2

1

100

经计算,样本的平均值μ=65,标准差σ=2.2,以频率值作为概率的估计值.

(Ⅰ)为证判一台设备的性能,从该设备加工的零件中任意抽取一件,记其直径为X,并根据以下不等式进行评判(P表示相就事件睥概率):①P(μ﹣σ<X≤μ+σ)≥0.6826,②P(μ﹣2σ<X≤μ+2σ)≥0.9544,③P(μ﹣3σ<X≤μ+3σ)≥0.9974,评判规则为:若同时满足上述三个不等式,则设备等级为甲;若仅满足其中两个,则等级为乙,若仅满足其中一个,则等级为丙;若全部都不满足,则等级为丁,试判定设备M的性能等级.

(Ⅱ)将直径小于等于μ﹣2σ或直径不大于μ+2σ的零件认为是次品,从样本所含次品中任取2件,则它们的直径之差不超过1mm的概率是多少?

21.已知函数f(x)=lnx﹣ax+a﹣2,a∈R.

(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;

(Ⅱ)设g(x)=xf(x)+2,求证:当a<ln时,g(x)>2a.

 

选做题:请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多选,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号.[选修4-1:几何证明选讲]

22.如图⊙O是Rt△ABC的外接圆,E、F是AB,BC上的点,且A,E,F,C四点共圆,延长BC至D,使得AC•BF=AD•BE.

(1)证明:DA是⊙O的切线;

(2)若AF•AB=1:,试求过点A、E、F、C的圆的面积与⊙O的面积之比.

 

[选修4-4:坐标系与参数方程选讲]

23.在极坐标系Ox中,曲线C的极坐标方程为p2=,以极点O为直角坐标原点、极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系.

(1)求曲线C的直角坐标方程;

(2)设曲线C与x轴、y轴的正半轴分别交于点A、B,P是曲线C上一点,求△ABP面积的最大值.

 

[选修4-5:不等式选讲]

24.已知函数f(x)=|x﹣1|﹣|2x﹣a|

(1)当a=5时,求不等式f(x)≥0的解集;

(2)设不等式f(x)≥3的解集为A,若5∈A,6∉A,求整数a的值.

 


2018年山西高考文科数学模拟冲刺试题【含答案】

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的

1.已知集合A={(x,y)|y=x2},B={(x,y)|2x﹣y﹣1=0},则A∩B=(  )

A.x=1,y=1              B.(1,1)              C.{1,1}              D.{(1,1)}

【考点】交集及其运算.

【分析】联立A与B中两方程组成方程组,求出方程组的解即可确定出两集合的交集.

【解答】解:联立得:

消去y得:2x﹣1=x2,即(x﹣1)2=0,

解得:x=1,y=1,

则A∩B={(1,1)},

故选:D.

 

 

3.若直线l:xsinθ+2ycosθ=1与圆C:x2+y2=1相切,则直线l的方程为(  )

A.x=1              B.x=±1              C.y=1              D.y=±1

【考点】圆的切线方程.

【分析】由圆的方程找出圆心坐标和圆的半径,根据直线与圆相切得到圆心到直线的距离等于半径,利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d,让d等于半径1,得到cosθ=0,sinθ=±1,即可求出直线l的方程.

【解答】解:根据圆C:x2+y2=1,得到圆心坐标C(0,0),半径r=1,

∵直线与圆相切,

∴圆心到直线的距离d==r=1,

解得:cosθ=0,sinθ=±1

则直线l的方程为x=±1.

故选:B.

 

4.已知x,y满足约束条件,则z=x+2y的最小值为(  )

A.﹣3              B.﹣5              C.﹣6              D.﹣14

【考点】简单线性规划.

【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用z的几何意义即可得到结论.

【解答】解:作出不等式组对应的平面区域,

由z=x+2y,得y=,平移直线y=,由图象可知当直线经过点B时,

直线y=的截距最小,此时z最小,

,得

即B(3,﹣3)

此时z=3+2×(﹣3)=3﹣6=﹣3.

故选:A.

 

5.若点(sin,cos)在角α的终边上,则sinα的值为(  )

A.              B.              C.              D.

【考点】任意角的三角函数的定义.

【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义转化求解sinα的值.

【解答】解:角α的终边上一点的坐标为(sin,cos)即(),

则由任意角的三角函数的定义,可得sinα=

故选:A.

 

6.四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为正方形,PA⊥底面ABCD,AB=2,PA=,若该四棱锥的所有项点都在同一球面上,则该球的表面积为(  )

A.              B.              C.65π              D.

【考点】球的体积和表面积.

【分析】连结AC、BD,交于点E,则E是AC中点,取PC中点O,连结OE,推导出O是该四棱锥的外接的球心,球半径R=,由此能求出该球的表面积.

 

7.某校食堂使用大小、手感完全一样的餐票,小明口袋里有一元餐票2张,两元餐票2张,五元餐票1张,若他从口袋中随意摸出2张,则其面值之和不少于四元的概率为(  )

A.              B.              C.              D.

【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率.

【分析】他从口袋中随意摸出2张,求出基本事件总数,再求出其面值之和不少于四元包含的基本事件个数,由此能求出其面值之和不少于四元的概率.

【解答】解:小明口袋里有一元餐票2张,两元餐票2张,五元餐票1张,

若他从口袋中随意摸出2张,基本事件总数n==10,

故选:C.

 

8.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(  )

A.44              B.32              C.10+6              D.22+6

【考点】由三视图求面积、体积.

【分析】根据几何体的三视图,得出该几何体是底面为矩形四棱锥,结合图中数据求出它的表面积.

【解答】解:根据几何体的三视图知,该几何体是底面为矩形四棱锥;

且矩形的长为6,宽为2,四棱锥的高为4,如图所示:

若2a﹣1=0,则a=,此时当x≥﹣1时,f(x)=﹣1,此时函数f(x)的值域不是R,不满足条件.

若2a﹣1>0,即a>时,函数f(x)=(2a﹣1)x﹣2a,x≥﹣1为增函数,

此时f(x)≥﹣(2a﹣1)﹣2a=1﹣4a,此时函数的值域不是R,

若2a﹣1<0,即a<时,函数f(x)=(2a﹣1)x﹣2a,x≥﹣1为减函数,

此时f(x)≤﹣(2a﹣1)﹣2a=1﹣4a,

若函数的值域是R,

则1﹣4a≥2,即4a≤﹣1,即a≤﹣

故选:A.

 

10.点O为△ABC内一点,且满足,设△OBC与△ABC的面积分别为S1、S2,则=(  )

A.              B.              C.              D.

【考点】向量的线性运算性质及几何意义.

【分析】延长OC到D,使OD=4OC,延长CO交AB与E,由已知得O为△DABC重心,E为AB中点,推导出S△AEC=S△BEC,S△BOE=2S△BOC,由此能求出结果.

【解答】解:延长OC到D,使OD=4OC,

延长CO交AB与E,

∵O为△ABC内一点,且满足

=

∴O为△DABC重心,E为AB中点,

∴OD:OE=2:1,∴OC:OE=1:2,∴CE:OE=3:2,

∴S△AEC=S△BEC,S△BOE=2S△BOC,

∵△OBC与△ABC的面积分别为S1、S2,

=

故选:B.

 

11.执行如图所示的程序框图(其中[x]表示不超过实数x的最大整数),则运行后输出的结果是(  )

A.31              B.33              C.35              D.37

【考点】程序框图.

【分析】模拟程序框图的运行过程,得出终止循环时输出的i值是什么.

【解答】解:模拟程序框图运行,如下;

12.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若=,b=4,则△ABC的面积的最大值为(  )

A.4              B.2              C.2              D.

【考点】正弦定理;三角函数中的恒等变换应用.

【分析】由已知式子和正弦定理可得B=,再由余弦定理可得ac≤16,由三角形的面积公式可得.

【解答】解:∵在△ABC中=

∴(2a﹣c)cosB=bcosC,

∴(2sinA﹣sinC)cosB=sinBcosC,

∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin(B+C)=sinA,

约掉sinA可得cosB=,即B=

由余弦定理可得16=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac,

∴ac≤16,当且仅当a=c时取等号,

∴△ABC的面积S=acsinB=ac≤4

故选:A.

 

二、填空题:本大题共4小题,每小题5分

13.是复数z的共轭复数,若z•=4,则|z|= 2 .

【考点】复数求模.

【分析】设z=a+bi(a,b∈R),可得=a﹣bi,|z|=||,利用z•=|z|2,即可得出.

【解答】解:设z=a+bi(a,b∈R),∴=a﹣bi,

|z|=||,

∵z•=4,

∴|z|2=4,

则|z|=2.

故答案为:2.

 

14.已知函数f(x)=x3+ax2+3x在定义域上是增函数,则实数a的取值范围为 [﹣3,3] .

【考点】利用导数研究函数的单调性.

【分析】先求出函数的导数,通过导函数大于0,解不等式即可.

【解答】解:∵函数f(x)=x3+ax2+3x在定义域上是增函数,

∴f′(x)=3x2+2ax+3≥0在R上恒成立,

∴△=4a2﹣36≥0,

解得:﹣3≤a≤3,

故答案为:[﹣3,3].

 

15.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,则函数f(x)在区间[0,]上的最小值为 ﹣1 .

【考点】正弦函数的图象.

【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A,由周期求出ω,由特殊点的坐标求出φ的值,可得函数f(x)的解析式,再利用正弦函数的定义域和值域,求得函数f(x)在区间[0,]上的最小值.

故答案为:36

 

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17.已知数列{an}为等差数列,且,3,a4,a10成等比数列.

(Ⅰ)求an;

 

18.在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧面A1ACC1⊥底面ABC,M为CC1的中点,∠ABC=90°,AC=A1A,∠A1AC=60°,AB=BC=2.

(Ⅰ)求证:BA1=BM;

(Ⅱ)求三棱锥C1﹣A1B1M的体积.

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;空间中直线与直线之间的位置关系.

【分析】(I)取AC的中点D,连接BD,DM,AC1,A1D,A1C,由题意可得△ABC是等腰直角三角形,四边形ACC1A1是菱形,利用菱形和等边三角形的性质可得A1D=DM,由面面垂直的性质可得BD⊥A1D,BD⊥DM,于是△A1DB≌Rt△MDB,于是BA1=BM;

(II)根据等腰直角三角形的性质计算BD,以△A1C1M为棱锥的底面,则棱锥的高与BD相等.代入棱锥的体积公式计算.

【解答】(Ⅰ)证明:取AC的中点D,连接BD,DM,AC1,A1D,A1C.

∵AB=BC,∴BD⊥AC.

∵侧面A1ACC1⊥底面ABC,A1ACC1∩平面ABC=AC,BD⊂平面ABC,

∴BD⊥平面A1ACC1,∵A1D⊂平面A1ACC1,DM⊂A1ACC1,

∴BD⊥A1D,BD⊥DM.

∵D,M是AC,CC1的中点,∴DM=

∵AC=AA1,∠A1AC=60°,∴四边形AA1C1C是菱形,△A1AC为等边三角形,

∴A1D==DM,

∴Rt△A1DB≌Rt△MDB.

∴BA1=BM.

(Ⅱ)解:∵AB=BC=2,∠ABC=90°,∴AC=2,∴BD=AD=AC=

∴A1D==.MC1==

S==

∵BB1∥平面AA1C1C,∴点B1到平面AA1C1C的距离h=BD=

∴V=V===

 

19.为评估设备M生产某种零件的性能,从设备M生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本,测量其直径后,整理得到下表:

直径/mm

58

59

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

73

合计

件数

1

1

3

5

6

19

33

18

4

4

2

1

2

1

100

经计算,样本的平均值μ=65,标准差σ=2.2,以频率值作为概率的估计值.

(Ⅰ)为证判一台设备的性能,从该设备加工的零件中任意抽取一件,记其直径为X,并根据以下不等式进行评判(P表示相就事件睥概率):①P(μ﹣σ<X≤μ+σ)≥0.6826,②P(μ﹣2σ<X≤μ+2σ)≥0.9544,③P(μ﹣3σ<X≤μ+3σ)≥0.9974,评判规则为:若同时满足上述三个不等式,则设备等级为甲;若仅满足其中两个,则等级为乙,若仅满足其中一个,则等级为丙;若全部都不满足,则等级为丁,试判定设备M的性能等级.

(Ⅱ)将直径小于等于μ﹣2σ或直径不大于μ+2σ的零件认为是次品,从样本所含次品中任取2件,则它们的直径之差不超过1mm的概率是多少?

【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义;列举法计算基本事件数及事件发生的概率.

【分析】(Ⅰ)利用条件,可得设备M的数据仅满足一个不等式,即可得出结论;

(Ⅱ)确定基本事件,即可求出径之差不超过1mm的概率.

【解答】解:(Ⅰ)P(μ﹣σ<X≤μ+σ)=P(62.8<X≤67.2)=0.8≥0.6826,P(μ﹣2σ<X≤μ+2σ)=P(60.6<X≤69.4)=0.94≥0.9544,P(μ﹣3σ<X≤μ+3σ)=P(58.4<X≤71.6)=0.98≥0.9974,

因为设备M的数据仅满足一个不等式,故其性能等级为丙;…

(Ⅱ)易知样本中次品共6件,将直径为58,59,70,71,71,73的次品依次记为A,B,C,D,E,F从中任取2件,共有AB,AC,AD,AE,AF,BC,BD,BE,BF,CD,CE,CF,DE,DF,EF15种可能,而直径不超过1mm的取法共有AB,CD,CE,4种可能,由古典概型可知P=.…

 

20.已知F1,F2分别为椭圆+y2=1的左、右焦点,过F1的直线l与椭圆交于不同的两点A、B,连接AF2和BF2.

(Ⅰ)求△ABF2的周长;

(Ⅱ)若AF2⊥BF2,求△ABF2的面积.

【考点】椭圆的简单性质.

【分析】(I)由椭圆定义得△ABF2的周长为4a,由此能求出结果.

(II)设直线l的方程为x=my﹣1,与椭圆联立,得(m2+2)y2﹣2my﹣1=0.由此利用韦达定理、向量垂直的性质、弦长公式,能求出△ABF2的面积.

【解答】解:(I)∵F1,F2分别为椭圆+y2=1的左、右焦点,

过F1的直线l与椭圆交于不同的两点A、B,连接AF2和BF2.

∴△ABF2的周长为|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=4.…

 

21.已知函数f(x)=lnx﹣ax+a﹣2,a∈R.

(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;

(Ⅱ)设g(x)=xf(x)+2,求证:当a<ln时,g(x)>2a.

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.

【分析】(Ⅰ)求出函数f(x)的导函数,然后分类讨论,当a≤0时,f(x)的单调增区间为(0,+∞),当a>0时,f(x)的单调增区间为(0,),单调递减区间为(,+∞);

(Ⅱ)求出g(x)的导函数g′(x)=﹣ax+lnx+a﹣1  (x>0),当时,g′(x)在(0,+∞)上单调递增,故而g′(x)在(1,2)存在唯一的零点x0,即g′(x0)=0,则当0<x<x0时,g(x)单调递减,当x>x0时,g(x)单调递增,从而可证得结论.

 

选做题:请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多选,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号.[选修4-1:几何证明选讲]

22.如图⊙O是Rt△ABC的外接圆,E、F是AB,BC上的点,且A,E,F,C四点共圆,延长BC至D,使得AC•BF=AD•BE.

(1)证明:DA是⊙O的切线;

(2)若AF•AB=1:,试求过点A、E、F、C的圆的面积与⊙O的面积之比.

【考点】与圆有关的比例线段;圆內接多边形的性质与判定.

【分析】(1)证明:∠ACD=∠BEF,∠DAC=∠FBE,进而证明∠DAB=90°,即可证明DA是⊙O的切线;

(2)由(1)知AF为过A,E,F,C四点的圆的直径,利用AF:AB=1:,即可求过点A、E、F、C的圆的面积与⊙O的面积之比.

【解答】(1)证明:由题意知∠ACD=90°,

∵A,E,F,C四点共圆,∴∠BEF=90°,即∠ACD=∠BEF.

又∵AC•BF=AD•BE,∴△ADC∽△BFE.

∴∠DAC=∠FBE.

∵∠FBE+∠BAC=90°,∴∠DAC+∠BAC=90°,

即∠DAB=90°,∴DA是⊙O的切线.…

(2)解:由(1)知AF为过A,E,F,C四点的圆的直径,

∵AF:AB=1:.∴AF2:AB2=1:2.

即过点A,E,F,C的圆的面积与⊙O的面积之比为1:2.…

 

[选修4-4:坐标系与参数方程选讲]

23.在极坐标系Ox中,曲线C的极坐标方程为p2=,以极点O为直角坐标原点、极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系.

(1)求曲线C的直角坐标方程;

(2)设曲线C与x轴、y轴的正半轴分别交于点A、B,P是曲线C上一点,求△ABP面积的最大值.

【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程.

【分析】(Ⅰ)由ρ2=x2+y2,y=ρsinθ,能求出曲线C的直角坐标方程.

(Ⅱ)先求出直线AB的方程,设P(4cosθ,3sinθ),求出P到直线AB的距离,由此能求出△ABP面积的最大值.

【解答】解:(Ⅰ)∵曲线C的极坐标方程为ρ2=

∴9ρ2+7ρ2sin2θ=144,

由ρ2=x2+y2,y=ρsinθ,

可得曲线C的直角坐标方程为9x2+9y2+7y2=144.

即曲线C的直角坐标方程为.…

(Ⅱ)∵曲线C与x轴、y轴的正半轴分别交于点A、B,

∴A(4,0),B(0,3),∴直线AB的方程为3x+4y﹣12=0,

设P(4cosθ,3sinθ),则P到直线AB的距离为:

 

 

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