距离2019年高考 还有204

2018年江苏高考数学模拟冲刺试题【含答案】

2018-04-10 15:42:22 文/程爽 369次阅读

2018年江苏高考数学模拟冲刺试题【含答案】 

一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.

1.函数fx=3sinxcosx的最小正周期为      

2.已知复数z=2+ii,其中i是虚数单位,则复数z在复平面上对应的点位于第      象限.

3.双曲线的离心率为      

4.在一次满分为160分的数学考试中,某班40名学生的考试成绩分布如下:

成绩(分)

80分以下

[80100

[100120

[120140

[140160]

人数

8

8

12

10

2

在该班随机抽取一名学生,则该生在这次考试中成绩在120分以上的概率为      

5.函数y=lnx22+的定义域为      

6.如图,在平面四边形ABCD中,ACBD相交于点OE为线段AO的中点,若λμR),则 λ+μ=      

7.如图是一个算法流程图,则输出的x的值为      

8.用长度为24的材料围成一个矩形场地,中间有两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为      

9.四棱锥PABCD中,PA底面ABCD,底面ABCD是矩形,AB=2AD=3PA=,点E为棱CD上一点,则三棱锥EPAB的体积为      

10.已知函数fx=xR,则fx22xf3x4)的解集是      

11.记等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=3,且数列{}也为等差数列,则a11=      

113.已知xy0,且x+y2,则+的最小值为      

14.已知函数fx=xa)(xb2,(b0),不等式fxmxfx)对xR恒成立,则2m+ab=      

 

二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤.

116.如图,四边形A A1 C1C为矩形,四边形CC1B1 B为菱形,且平面CC1B1 BA A1 C1CDE分别是A1 B1C1C的中点.求证:(1BC1平面AB1C

2DE平面AB1C

1

18.如图所示,某镇有一块空地OAB,其中OA=3kmOB=3kmAOB=90°.当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点,拟在中间挖一个人工湖OMN,其中MN都在边AB上,且MON=30°,挖出的泥土堆放在OAM地带上形成假山,剩下的OBN地带开设儿童游乐场.为安全起见,需在OAN的一周安装防护网.

1)当AM=km时,求防护网的总长度;

2)为节省投入资金,人工湖OMN的面积要尽可能小,问如何设计施工方案,可使OMN的面积最小?最小面积是多少?

120.已知数列{an}的前n项和为Sn,设数列{bn}满足bn=2Sn+1SnSnnSn+1+Sn)(nN*).

1)若数列{an}为等差数列,且bn=0,求数列{an}的通项公式;

2)若a1=1a2=3,且数列{a2n1}的,{a2n}都是以2为公比的等比数列,求满足不等式b2nb2n1的所有正整数的n集合.

 

四.【选做题】本题包括212223241小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.[选修4-1:几何证明选讲]

21.如图,AB为圆O的切线,A为切点,C为线段AB的中点,过C作圆O的割线CEDECD之间),求证:CBE=BDE

 

[选修4-2:矩阵与变换]

22.已知矩阵A=A的逆矩阵A1=

1)求ab的值;

2)求A的特征值.

 

[选修4-4:坐标系与参数方程]

1 

[选修4-5:不等式选讲]

24.已知xyz都是正数且xyz=8,求证:(2+x)(2+y)(2+z64

 

四、【必做题】第25题、第26题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

25.某班组织的数学文化节活动中,通过抽奖产生了5名幸运之星.这5名幸运之星可获得AB两种奖品中的一种,并规定:每个人通过抛掷一枚质地均匀的骰子决定自己最终获得哪一种奖品,抛掷点数小于3的获得A奖品,抛掷点数不小于3的获得B奖品.

1)求这5名幸运之星中获得A奖品的人数大于获得B奖品的人数的概率;

2)设XY分别为获得AB两种奖品的人数,并记ξ=|XY|,求随机变量ξ的分布列及数学期望.

26.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y2=2pxp0)的准线方程为 x=,过点M02)作抛物线的切线MA,切点为A(异于点O).直线l过点M与抛物线交于两点BC,与直线OA交于点N

1)求抛物线的方程;

2)试问:的值是否为定值?若是,求出定值;若不是,说明理由.

 


2018年江苏高考数学模拟冲刺试题答案

一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.

1.函数fx=3sinxcosx的最小正周期为 π 

【考点】三角函数的周期性及其求法.

【分析】先利用二倍角的正弦函数公式化简函数,再利用周期公式,即可求得结论.

【解答】解:由题意,函数fx=3sinxcosx=sin2x

所以可得:T==π

故答案为:π

 

2.已知复数z=2+ii,其中i是虚数单位,则复数z在复平面上对应的点位于第 二 象限.

【考点】复数的代数表示法及其几何意义.

【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出.

【解答】解:复数z=2+ii=1+2i,则复数z在复平面上对应的点(12)位于第二象限.

故答案为:二.

 

3.双曲线的离心率为  

【考点】双曲线的简单性质.

【分析】根据双曲线的方程为标准形式,求出abc 的值,即得离心率的值.

【解答】解:双曲线a=1b=

c=

双曲线的离心率为e==

故答案为:

 

4.在一次满分为160分的数学考试中,某班40名学生的考试成绩分布如下:

成绩(分)

80分以下

[80100

[100120

[120140

[140160]

人数

8

8

12

10

2

在该班随机抽取一名学生,则该生在这次考试中成绩在120分以上的概率为 0.3 

【考点】频率分布表.

【分析】根据频率分布表,利用频率=,求出对应的频率即可.

【解答】解:根据频率分布表,得;

在这次考试中成绩在120分以上的频数是

10+2=12

随机抽取一名学生,该生在这次考试中成绩在120分以上的概率为

=0.3

故答案为:0.3

 

5.函数y=lnx22+的定义域为 (﹣∞) 

【考点】函数的定义域及其求法.

【分析】由对数式的真数大于0,根式内部的代数式大于等于0联立不等式组求得答案.

【解答】解:由,解得x

函数y=lnx22+的定义域为(﹣∞).

故答案为:(﹣∞).

 

6.如图,在平面四边形ABCD中,ACBD相交于点OE为线段AO的中点,若λμR),则 λ+μ=  

【考点】平面向量的基本定理及其意义.

【分析】,可得.由E为线段AO的中点,可得,再利用平面向量基本定理即可得出.

【解答】解:

E为线段AO的中点,

2μ=

解得μ=

λ+μ=

故答案为:

 

7.如图是一个算法流程图,则输出的x的值为  

【考点】程序框图.

【分析】模拟执行算法流程,依次写出每次循环得到的xn的值,当n=6时,满足条件n5,退出循环,输出x的值为

【解答】解:模拟执行算法流程,可得

n=1x=1

x=n=2

不满足条件n5x=n=3

不满足条件n5x=n=4

不满足条件n5x=n=5

不满足条件n5x=n=6

满足条件n5,退出循环,输出x的值为

故答案为:

 

8.用长度为24的材料围成一个矩形场地,中间有两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为 3 

【考点】函数模型的选择与应用.

【分析】若设矩形场地的宽为x,则长为,其面积为S=x,整理得x的二次函数,能求出函数的最值以及对应的x的值.

【解答】解:如图所示,

设矩形场地的宽为x,则长为,其面积为:

S=x=12x2x2=2x26x+9+18=2x32+18

x=3时,S有最大值,为18;所以隔墙宽应为3

故答案为:3

 

9.四棱锥PABCD中,PA底面ABCD,底面ABCD是矩形,AB=2AD=3PA=,点E为棱CD上一点,则三棱锥EPAB的体积为  

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.

【分析】由PA平面ABCD可得VEPAB=VPABE=

【解答】解:底面ABCD是矩形,ECD上,

SABE===3

PA底面ABCD

VEPAB=VPABE==

故答案为:

 

10.已知函数fx=xR,则fx22xf3x4)的解集是 (12) 

【考点】其他不等式的解法.

【分析】讨论x的符号,去绝对值,作出函数的图象,由图象可得原不等式分别解出它们,再求并集即可.

【解答】解:当x0时,fx=1

x0时,fx==1

作出fx)的图象,可得fx)在(﹣∞0)上递增,

不等式fx22xf3x4)即为,

解得x21x

即有1x2

则解集为(12).

故答案为:(12).

 

11.记等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=3,且数列{}也为等差数列,则a11= 63 

【考点】等差数列的前n项和.

【分析】设等差数列{an}的公差为d,由a1=3,且数列{}也为等差数列,可得=+,即=+,解出d,即可得出.

【解答】解:设等差数列{an}的公差为da1=3,且数列{}也为等差数列,

=+

=+

化为d212d+36=0

解得d=6

a11=3+10×6=63

故答案为:63

 

12.在平面直角坐标系xOy中,已知圆Cx2+y32=2,点Ax轴上的一个动点,APAQ分别切圆CPQ两点,则线段PQ的取值范围是 [2) 

【考点】圆的切线方程.

【分析】考虑特殊位置,即可求出线段PQ的取值范围.

【解答】解:由题意,A在坐标原点时,sinPOC=cosPOC=

sinPOQ=

sinPCQ=

cosPCQ=

PQ==

Ax轴上无限远时,PQ接近直径2

线段PQ的取值范围是[2),

故答案为:[2).

 

13.已知xy0,且x+y2,则+的最小值为  

【考点】基本不等式.

【分析】由条件可得x+3y0xy0[x+3y+xy]+=5++,运用基本不等式和不等式的性质,即可得到所求最小值.

【解答】解:由xy0,可得x+3y0xy0

[x+3y+xy]+=5++

5+2=9

可得+

=

当且仅当2xy=x+3y,即x=5y=时,取得最小值

故答案为:

 

14.已知函数fx=xa)(xb2,(b0),不等式fxmxfx)对xR恒成立,则2m+ab=  

【考点】利用导数研究函数的单调性.

【分析】由条件可得,(xb{13mx2+[m2a+ba+b]x+ab}≥0恒成立,可得m=,故(xb[a+2bx3ab]≤0恒成立.再利用二次函数的性质求出ab=0即可.

【解答】解:fxmxfx),

xa)(xb2mxxb[3x2a+b]

xb{13mx2+[m2a+ba+b]x+ab}≥0

m,则左边是一个一次因式,乘以一个恒正(或恒负)的二次三项式,或者是三个一次因式的积,无论哪种

情况,总有一个一次因式的指数是奇次的,这个因式的零点左右的符号不同,因此不可能恒非负,不满足条件.

m=

xb[a+2bx3ab]≤0恒成立.

a+2b=0,则有a=2ba=b=0,(舍)

a+2b0,则 x1=bx2=,且 b=

b0,则=1a=b,即ab=0b0

综上可得,m=ab=0

2m+ab=

故答案为:

 

二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.在ABC中,角ABC的对边分别为abc.已知cosC=

1)若=,求ABC的面积;

2)设向量=2sin),=cosBcos),且,求 sinBA)的值.

【考点】两角和与差的正弦函数;平面向量共线(平行)的坐标表示;平面向量数量积的运算.

【分析】(1)利用=,求出ab的值,然后求解ABC的面积.

2)通过,求出tanB的值,推出B,转化sinBA=sinA=sinC),利用两角和与差的三角函数求解即可.

【解答】解:(1)由=,得abcosC=

又因为cosC=,所以ab==.               

CABC的内角,所以sinC=.                

所以ABC的面积S=absinC=3.              

2)因为,所以2sincos=cosB,即sinB=cosB.    

因为cosB0,所以tanB=

因为B为三角形的内角,所以B=.                

所以A+C=,所以A=C

所以sinBA=sinA=sinC

=sinCcosC=××

=.                         

 

16.如图,四边形A A1 C1C为矩形,四边形CC1B1 B为菱形,且平面CC1B1 BA A1 C1CDE分别是A1 B1C1C的中点.求证:(1BC1平面AB1C

2DE平面AB1C

【考点】直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定.

【分析】(1)利用面面垂直的性质定理,得到AC平面CC1B1 B,再由线面垂直的性质得到ACBC1,进一步利用菱形的性质得到B1CBC1,利用线面垂直的判定定理可证;

2)取AA1的中点,连接DFEF,分别判断EFDF与平面平面AB1C平行,得到面面平行,利用面面平行的性质可证.

【解答】解:(1四边形A A1 C1C为矩形,ACCC1

又平面CC1B1 BA A1 C1CCC1B1 BA A1 C1C=CC1

AC平面CC1B1 B

BC1平面CC1B1 B

ACBC1

四边形CC1B1 B为菱形,B1CBC1

B1CAC=CAC平面A1CB1C平面AB1C

BC1平面AB1C

2)取AA1的中点,连接DFEF

四边形A A1 C1C为矩形,EF分别是C1CAA1的中点,

EFAC,又EF平面平面AB1CAC平面AB1C

EF平面AB1C

DF分别是A1 B1AA1的中点,

DFA B1

DF平面AB1CAB1平面AB1C

DF平面AB1C

EFDF=FEF平面DEFDF平面DEF

平面DEF平面AB1C

DE平面DEF

DE平面AB1C

 

17.已知椭圆+=1ab0)的离心率e=,一条准线方程为x=2.过椭圆的上顶点A作一条与x轴、y轴都不垂直的直线交椭圆于另一点PP关于x轴的对称点为Q

1)求椭圆的方程;

2)若直线APAQx轴交点的横坐标分别为mn,求证:mn为常数,并求出此常数.

【考点】椭圆的简单性质.

【分析】(1)利用= =2,及其b=,解出即可得出.

2)证法一:设P点坐标为(x1y1),则Q点坐标为(x1y1).可得kAP,直线AP的方程为y=x+1.令y=0,解得m.同理可得n.再利用(x1y1)在椭圆+y2=1上,即可得出mn

解法二:设直线AP的斜率为kk0),则AP的方程为y=kx+1,令y=0,得m.联立,解得P,则可得Q点的坐标.可得kAQ,可得直线AQ的方程,可得n,即可得出.

【解答】解:(1= =2

解得a=c=1

b==1

故椭圆的方程为+y2=1

2)证法一:设P点坐标为(x1y1),则Q点坐标为(x1y1).

kAP==

直线AP的方程为y=x+1

y=0,解得m=

kAQ==

直线AQ的方程为y=x+1

y=0,解得n=

mn=×=

x1y1)在椭圆+y2=1上,

=1,即1=

mn=2

mn为常数,且常数为2

解法二:设直线AP的斜率为kk0),则AP的方程为y=kx+1

y=0,得m=

联立

消去y,得(1+2k2x2+4kx=0,解得xA=0xP=

yP=k×xP+1=

Q点的坐标为().

kAQ==

故直线AQ的方程为y=x+1

y=0,得n=2k

mn=×2k=2

mn为常数,常数为2

 

18.如图所示,某镇有一块空地OAB,其中OA=3kmOB=3kmAOB=90°.当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点,拟在中间挖一个人工湖OMN,其中MN都在边AB上,且MON=30°,挖出的泥土堆放在OAM地带上形成假山,剩下的OBN地带开设儿童游乐场.为安全起见,需在OAN的一周安装防护网.

1)当AM=km时,求防护网的总长度;

2)为节省投入资金,人工湖OMN的面积要尽可能小,问如何设计施工方案,可使OMN的面积最小?最小面积是多少?

【考点】解三角形的实际应用.

【分析】(1)证明OAN为正三角形,可得OAN的周长为9,即防护网的总长度为9km

2)设AOM=θ,在AOMAON中使用正弦定理求出OMON,得出OMN 的面积关于θ的函数,利用三角函数恒等变换化简,得出面积的最小值.

【解答】解:(1OA=3kmOB=3kmAOB=90°A=60°AB=6

OAM中,由余弦定理得:OM2=OA2+AM22OAAMcosA=

OM=

由正弦定理得:,即

sinAOM=A=30°

∴∠AON=AOM+∠MON=60°

∴△OAN是等边三角形.

∴△OAN的周长C=3OA=9

防护网的总长度为9km

2)设AOM=θ0°θ60°),则AON=θ+30°OMA=120°﹣θONA=90°﹣θ

OAM中,由正弦定理得,即==

OM=

AON中,由正弦定理得,即=

ON=

SOMN===

当且仅当2θ+60°=90°,即θ=15°时,OMN的面积取最小值为=km2

 

19.已知函数fx=+abλ为实常数).

1)若λ=1a=1

b=1时,求函数fx)的图象在点(f))处的切线方程;

b0时,求函数fx)在[]上的最大值.

2)若λ=1ba,求证:不等式fx1的解集构成的区间长度D为定值.

【考点】利用导数研究函数的单调性.

【分析】(1)利用导数的几何意义求得切线斜率,由点斜式写出切线方程,利用导数求出函数在定区间的最大值;

2)根据一元二次不等式与二次函数的关系,通过分类讨论两根得出结论.

【解答】解 (1b=1时,fx==,则fx=,可得f=4

f=2,故所求切线方程为y2=4x),即4x+y10=0

λ=1时,fx=

fx=+=

因为b0,则b10,且b

故当bx时,fx0fx)在(b)上单调递增;

x时,fx0fx)在()单调递减.

)当,即b时,fx)在[]单调递减,所以[fx]max=f=

)当,即b0时,[fx]max=f=

综上所述,[fx]max=

2fx1+1*

xb时,xa0xb0,此时解集为空集.

axb时,不等式(*)可化为 (xa+xbxa)(xb),

展开并整理得,x2a+b+2x+ab+a+b0

g x=x2a+b+2x+ab+a+b),

因为=ab2+40,所以g x)有两不同的零点,设为x1x2x1x2),

g a=ba0g b=ab0,且ba

因此bx1ax2

所以当axb时,不等式x2a+b+2x+ab+a+b0的解为bxx1

xa时,不等式(*)可化为 (xa+xbxa)(xb),

展开并整理得,x2a+b+2x+ab+a+b0

知,此时不等式的解为axx2

综上所述,fx1的解构成的区间为(bx1]ax2]

其长度为(x1b+x2a=x1+x2ab=a+b+2ab=2

故不等式fx1的解集构成的区间长度D为定值2

 

20.已知数列{an}的前n项和为Sn,设数列{bn}满足bn=2Sn+1SnSnnSn+1+Sn)(nN*).

1)若数列{an}为等差数列,且bn=0,求数列{an}的通项公式;

2)若a1=1a2=3,且数列{a2n1}的,{a2n}都是以2为公比的等比数列,求满足不等式b2nb2n1的所有正整数的n集合.

【考点】数列递推式;等比数列的性质.

【分析】(1)由bn=2Sn+1SnSnnSn+1+Sn)(nN*),得bn=2an+1Snn2Sn+an+1),由bn=0,得a1da1=0对一切nN*都成立,由此能求出an=0an=n

2)由题意得 =4×2n4,从而推导出b2nb2n1=,设fn=2n[]+8,记gn=,则gn+1gn=,由此能求出满足条件的正整数n的集合.

【解答】解:(1)设等差数列{an}的公差为d,则an+1=a1+nd

bn=2Sn+1SnSnnSn+1+Sn)(nN*),

bn=2an+1Snn2Sn+an+1),

bn=0对一切nN*都成立,

a1da1=0对一切nN*都成立,

n=1n=2,解得a1=d=0a1=d=1

经检验,符合题意,

an=0an=n

2)由题意得

=4×2n4

S2n+1=S2n+a2n+1=4×2n4+2n=5×2n4

b2n=2a2n+1S2n2n2S2n+a2n+1

=2×2n×4×2n42n8×2n8+2n

=2n+12n+29n4+16n

b2n1=2a2nS2n12n1)(2S2n1+a2n

=6×2n1×5×2n142n1)(10×2n18+3×2n1

=2n130×2n126n11+16n8

b2nb2n1=2n+12n+29n4+16n[2n130×2n126n11+16n8]

=

=

fn=,即fn=2n[]+8

gn=

gn+1gn=

=

n=123时,gn+1gn0

nN*时,n4gn+1gn0

n=1时,g1=0g40,且g6=0g7=0

fn=n7nN*)时,是单调递增函数,

f1=50f2=340f3=1000f4=2240

f5=3600f6=240f7=34000

满足条件的正整数n的集合为{123456}

 

四.【选做题】本题包括212223241小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.[选修4-1:几何证明选讲]

21.如图,AB为圆O的切线,A为切点,C为线段AB的中点,过C作圆O的割线CEDECD之间),求证:CBE=BDE

【考点】与圆有关的比例线段.

【分析】由已知条件由切割线定理得CA2=CECD,利用C为线段AB的中点推导出BC2=ECDC,得到BCE∽△DCB,利用三角形相似的性质得到证明.

【解答】证明:直线AB,直线CDE分别是O的切线和割线,

由切割线定理得CA2=CECD

C为线段AB的中点

BC2=CA2

BC2=CECD

BCEDCB中,

∵∠BCE=DCB

∴△BCE∽△DCB

∴∠CBE=BDE

 

[选修4-2:矩阵与变换]

22.已知矩阵A=A的逆矩阵A1=

1)求ab的值;

2)求A的特征值.

【考点】特征向量的定义;逆矩阵的意义.

【分析】(1)利用矩阵A=A的逆矩阵A1=,建立方程组,求ab的值;

2)确定A的特征多项式,可求A的特征值.

【解答】解:(1)因为AA1===

所以

解得a=1b=.     

2)由(1)得A=

A的特征多项式fλ==λ﹣3)(λ﹣1).

fλ=0,解得A的特征值λ1=1λ2=3

 

[选修4-4:坐标系与参数方程]

23.在平面直角坐标系xoy中,已知曲线Cs为参数),直线lt为参数).设曲线C与直线l交于AB两点,求线段AB的长度.

【考点】参数方程化成普通方程.

【分析】由曲线Cs为参数),消去参数s可得:y=x2.由直线l代入抛物线方程可得=0,解得t即可得出.

【解答】解:由曲线Cs为参数),消去参数s可得:y=x2

由直线l代入抛物线方程可得=0

解得t=0

∴|AB|=

 

[选修4-5:不等式选讲]

24.已知xyz都是正数且xyz=8,求证:(2+x)(2+y)(2+z64

【考点】不等式的证明.

【分析】利用基本不等式,即可证明结论.

【解答】证明:因为x为正数,所以2+x2

同理2+y22+z2

所以(2+x)(2+y)(2+z222=8

因为xyz=8,所以(2+x)(2+y)(2+z8

 

四、【必做题】第25题、第26题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

25.某班组织的数学文化节活动中,通过抽奖产生了5名幸运之星.这5名幸运之星可获得AB两种奖品中的一种,并规定:每个人通过抛掷一枚质地均匀的骰子决定自己最终获得哪一种奖品,抛掷点数小于3的获得A奖品,抛掷点数不小于3的获得B奖品.

1)求这5名幸运之星中获得A奖品的人数大于获得B奖品的人数的概率;

2)设XY分别为获得AB两种奖品的人数,并记ξ=|XY|,求随机变量ξ的分布列及数学期望.

【考点】离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列.

【分析】首先求出5名幸运之星中,每人获得A奖品的概率和B奖品的概率.

1)获得A奖品的人数大于获得B奖品的人数,得到获得A奖品的人数可能为345,利用独立重复试验求得概率;

2)由ξ=|XY|,可得ξ的可能取值为135,同样利用独立重复试验求得概率,然后列出频率分布表,代入期望公式求期望.

【解答】解:这5名幸运之星中,每人获得A奖品的概率为B奖品的概率为

1)要获得A奖品的人数大于获得B奖品的人数,则A奖品的人数可能为345,则

则所求概率为

2ξ的可能取值为135

ξ的分布列是:

ξ

1

3

5

P

故随机变量ξ的数学期望Eξ=+5×=

 

26.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y2=2pxp0)的准线方程为 x=,过点M02)作抛物线的切线MA,切点为A(异于点O).直线l过点M与抛物线交于两点BC,与直线OA交于点N

1)求抛物线的方程;

2)试问:的值是否为定值?若是,求出定值;若不是,说明理由.

【考点】抛物线的简单性质.

【分析】(1)由抛物线的准线方程可得p,进而得到抛物线方程;

2)求出函数y=的导数,求出切线的斜率,以及切线方程,联立切线方程和抛物线方程求得切点A,进而直线OA的方程,设出直线BC的方程,联立抛物线方程运用韦达定理,求出N的坐标,代入所求式子化简即可得到定值2

【解答】解:(1)由题设知,,即

所以抛物线的方程为y2=x

2)因为函数的导函数为

Ax0y0),则直线MA的方程为

因为点M02)在直线MA上,所以2y0=x0).

联立,解得A164),

所以直线OA的方程为

设直线BC方程为y=kx2

,得k2x24k+1x+4=0

所以

,得

所以

的为定值2

 

 

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