2018年河南高考文科数学模拟冲刺试题【含答案】

       2018年河南高考文科数学模拟冲刺试题【含答案】

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）复数（i为虚数单位）等于（　　）

A．﹣1﹣3iB．﹣1+3iC．1﹣3iD．1+3i

2．（5分）设集合A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜a}，若A∩B=A，则a的取值范围是（　　）

A．{a|a≤2}B．{a|a≤1}C．{a|a≥1}D．{a|a≥2}

5．（5分）我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n=（　　）

A．4B．5C．2D．3

6．（5分）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于（　　）

A．10cm3B．20cm3　C．30cm3D．40cm3

9．（5分）已知函数，若函数f（x）在R上有两个零点，则实数a的取值范围是（　　）

A．（0，1]B．[1，+∞）C．（0，1）D．（﹣∞，1]

10．（5分）已知椭圆的左顶点和上顶点分别为A，B，左、右焦点分别是F1，F2，在线段AB上有且只有一个点P满足PF1⊥PF2，则椭圆的离心率的平方为（　　）

11．（5分）我市某高中从高三年级甲、乙两个班中各选出7名学生参加2018年全国高中数学联赛（河南初赛），他们取得的成绩（满分140分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的中位数是81，乙班学生成绩的平均数是86，若正实数a，b满足a，G，b成等差数列且x，G，y成等比数列，则的最小值为（　　）

12．（5分）若对于任意的正实数x，y都有成立，则实数m的取值范围为（　　）

二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）

13．（5分）设变量x，y满足约束条件则目标函数z=4x﹣y的最小值为　   　．

14．（5分）如果直线ax+2y+3a=0与直线3x+（a﹣1）y=a﹣7平行，则a=　   　．

15．（5分）已知数列{an}满足，且a1+a2+a3+…+a10=1，则log2（a101+a102+…+a110）=　   　．

16．（5分）已知双曲线的右焦点为F，过点F向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M，交另一条渐近线于N，若，则双曲线的渐近线方程为　   　．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccosB=2a+b．

（1）求角C；

（2）若△ABC的面积为，求ab的最小值．

18．（12分）2017年10月份郑州市进行了高三学生的体育学业水平测试，为了考察高中学生的身体素质比情况，现抽取了某校1000名（男生800名，女生200名）学生的测试成绩，根据性别按分层抽样的方法抽取100名进行分析，得到如下统计图表：

男生测试情况：

女生测试情况

（1）现从抽取的1000名且测试等级为“优秀”的学生中随机选出两名学生，求选出的这两名学生恰好是一男一女的概率；

（2）若测试等级为“良好”或“优秀”的学生为“体育达人”，其它等级的学生（含病残免试）为“非体育达人”，根据以上统计数据填写下面列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“是否为体育达人”与性别有关？

临界值表：

附：（，其中n=a+b+c+d）

19．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AB=6，，，D，E为线段AB上的点，且AD=2DB，PD⊥AC．

（1）求证：PD⊥平面ABC；

（2）若，求点B到平面PAC的距离．

20．（12分）已知圆C：x2+y2+2x﹣2y+1=0和抛物线E：y2=2px（p＞0），圆心C到抛物线焦点F的距离为．

（1）求抛物线E的方程；

（2）不过原点的动直线l交抛物线于A，B两点，且满足OA⊥OB．设点M为圆C上任意一动点，求当动点M到直线l的距离最大时的直线l方程．

21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣a（x+1），a∈R在（1，f（1））处的切线与x轴平行．

（1）求f（x）的单调区间；

（2）若存在x0＞1，当x∈（1，x0）时，恒有成立，求k的取值范围．

22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l过点（1，0），倾斜角为α，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是．

（1）写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；

（2）若，设直线l与曲线C交于A，B两点，求△AOB的面积．

23．设函数f（x）=|x+3|，g（x）=|2x﹣1|．

（1）解不等式f（x）＜g（x）；

（2）若2f（x）+g（x）＞ax+4对任意的实数x恒成立，求a的取值范围．

2018年河南高考文科数学模拟冲刺试题【含答案】

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）复数（i为虚数单位）等于（　　）

A．﹣1﹣3iB．﹣1+3iC．1﹣3iD．1+3i

【分析】分子分母同乘﹣i，将分母实数化后，即可得到答案．

【解答】解：==﹣1﹣3i

故选A

【点评】本题考查的知识点是复数代数形式的乘除运算，复数的除法的化简关键是将分母乘以其共轭复数，将分母实数化，也可以利用公式：

2．（5分）设集合A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜a}，若A∩B=A，则a的取值范围是（　　）

A．{a|a≤2}B．{a|a≤1}C．{a|a≥1}D．{a|a≥2}

【分析】由A∩B=A，得A⊆B，由集合A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜a}，即可得出结论．

【解答】解：∵A∩B=A，

∴A⊆B．

∵集合A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜a}，

∴a≥2

故选：D．

【点评】本题考查了交集及其运算，解答的关键是对端点值的取舍，是基础题．

3．（5分）设向量=（1，m），=（m﹣1，2），且≠，若（﹣）⊥，则实数m=（　　）

A．2B．1C．D．

【分析】根据向量垂直于向量数量积的关系建立方程进行求解即可．

【解答】解：∵（﹣）⊥，

∴（﹣）•=0，

即2﹣•=0，

即1+m2﹣（m﹣1+2m）=0，

即m2﹣3m+2=0，

得m=1或m=2，

当m=1时，量=（1，1），=（0，2），满足≠，

当m=2时，量=（1，2），=（1，2），不满足≠，

综上m=1，

故选：B．

【点评】本题主要考查向量数量积的应用，根据向量数量积的坐标公式以及向量垂直于向量数量积的关系建立方程是解决本题的关键．

4．（5分）下列说法正确的是（　　）

A．“若a＞1，则a2＞1”的否命题是“若a＞1，则a2≤1”

B．“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为真命题

C．∃x0∈（0，+∞），使成立

D．“若，则”是真命题

【分析】由否命题既对条件否定，也对结论否定，即可判断A；

求得命题的逆命题，考虑m=0可判断B；

由幂函数的性质，即可判断C；

求得命题的逆否命题，即可判断D．

【解答】解：“若a＞1，则a2＞1”的否命题是“若a≤1，则a2≤1”，故A错；

“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为假命题，比如m=0，若a＜b，则am2=bm2，故B错；

对任意x＞0，均有3x＜4x成立，故C错；

对若，则”的逆否命题是“若α=，则sinα=”为真命题，

则D正确．

故选D．

【点评】本题考查命题的真假判断和存在性命题的判断，注意运用反例法和函数的性质，考查判断能力，属于基础题．

5．（5分）我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n=（　　）

A．4B．5C．2D．3

【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的a，A，S的值，当S=时，满足条件S≥10，退出循环，输出n的值为4，从而得解．

【解答】解：模拟执行程序，可得

a=1，A=1，S=0，n=1

S=2

不满足条件S≥10，执行循环体，n=2，a=，A=2，S=

不满足条件S≥10，执行循环体，n=3，a=，A=4，S=

不满足条件S≥10，执行循环体，n=4，a=，A=8，S=

满足条件S≥10，退出循环，输出n的值为4．

故选：A．

【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，模拟执行程序正确写出每次循环得到的a，A，S的值是解题的关键，属于基础题．

6．（5分）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于（　　）

A．10cm3B．20cm3　C．30cm3D．40cm3

【分析】由三视图知几何体为直三削去一个三棱锥，画出其直观图，根据棱柱的高为5；底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为3、4，计算三棱柱与三棱锥的体积，再求差可得答案．

【解答】解：由三视图知几何体为三棱柱削去一个三棱锥如图：

棱柱的高为5；底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为3、4，

∴几何体的体积V=×3×4×5﹣××3×4×5=20（cm3）．

故选B．

【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状及数据所对应的几何量．

7．（5分）若将函数f（x）=sin（2x+）图象上的每一个点都向左平移个单位，得到g（x）的图象，则函数g（x）的单调递增区间为（　　）

A．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）B．[kπ+，kπ+]（k∈Z）

C．[kπ﹣，kπ﹣]（k∈Z）D．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）

【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性函数g（x）的单调递增区间．

【解答】解：将函数f（x）=sin（2x+）图象上的每一个点都向左平移个单位，得到g（x）=sin[2（x+）+]=﹣sin2x的图象，

故本题即求y=sin2x的减区间，令2kπ+≤2x≤2kπ+，求得kπ+≤x≤kπ+，

故函数g（x）的单调递增区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z，

故选：B．

【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于基础题．

8．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，a2=2，且an+2﹣2an+1+an=0（n∈N*），记Tn=，则T2018=（　　）

A．B．C．D．

【分析】首先根据已知条件求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和．

【解答】解：数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，a2=2，且an+2﹣2an+1+an=0（n∈N*），

则：数列为等差数列．

设公差为d，则：d=a2﹣a1=2﹣1=1，

则：an=1+n﹣1=n．

故：，

则：，

所以：，

=，

=，

=．

所以：．

故选：C

【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，裂项相消法在数列求和中的应用．

9．（5分）已知函数，若函数f（x）在R上有两个零点，则实数a的取值范围是（　　）

A．（0，1]B．[1，+∞）C．（0，1）D．（﹣∞，1]

【分析】根据单调性和零点个数列出不等式组，从而得出a的范围．

【解答】解：当x≤0时，f（x）单调递增，∴f（x）≤f（0）=1﹣a，

当x＞0时，f（x）单调递增，且f（x）＞﹣a．

∵f（x）在R上有两个零点，

∴，解得0＜a≤1．

故选A．

【点评】本题考查了函数单调性与零点个数的关系，属于中档题．

10．（5分）已知椭圆的左顶点和上顶点分别为A，B，左、右焦点分别是F1，F2，在线段AB上有且只有一个点P满足PF1⊥PF2，则椭圆的离心率的平方为（　　）

A．B．C．D．

【分析】方法一：由题意可求得AB的方程，设出P点坐标，代入AB得方程，由PF1⊥PF2，得•=0，结合椭圆的离心率的性质即可求得答案；

方法二：由题意可知：直线AB与圆O：x2+y2=c2相切，利用点到直线的距离公式，即可求得圆的离心率的平方为．

【解答】解：方法一：依题意，作图如下：A（﹣a，0），B（0，b），F1（﹣c，0），F2（c，0），

∴直线AB的方程为，整理得：bx﹣ay+ab=0，设直线AB上的点P（x，y），

则bx=ay﹣ab，x=y﹣a，

∵PF1⊥PF2，则•=（﹣c﹣x，﹣y）•（c﹣x，﹣y）=x2+y2﹣c2=（）2+y2﹣c2，

令f（y）=（）2+y2﹣c2，则f′（y）=2（y﹣a）×+2y，

∴由f′（y）=0得：y=，于是x=﹣，

∴•=（﹣）2+（）2﹣c2=0，

整理得：=c2，又b2=a2﹣c2，整理得：c4+3c2c2﹣a4=0，两边同时除以a4，

由e2=，∴e4﹣3e2+1=0，∴e2=，又椭圆的离心率e∈（0，1），

∴e2=．

椭圆的离心率的平方，

故选B．

方法二：由直线AB的方程为，整理得：bx﹣ay+ab=0，

由题意可知：直线AB与圆O：x2+y2=c2相切，

可得d==c，两边平方，整理得：c4+3c2c2﹣a4=0，两边同时除以a4，由e2=，e4﹣3e2+1=0，

∴e2=，又椭圆的离心率e∈（0，1），∴e2=．

椭圆的离心率的平方，

故选B．

【点评】本题考查椭圆的性质，向量的数量积的坐标表示，考查直线的方程的运用，着重考查椭圆离心率，以及化简整理的运算能力，属于中档题．

11．（5分）我市某高中从高三年级甲、乙两个班中各选出7名学生参加2018年全国高中数学联赛（河南初赛），他们取得的成绩（满分140分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的中位数是81，乙班学生成绩的平均数是86，若正实数a，b满足a，G，b成等差数列且x，G，y成等比数列，则的最小值为（　　）

A．B．2C．D．9

【分析】由中位数和平均数的定义可得x，y的值，再由等差数列和等比数列中项的性质求得a+b=4，利用基本不等式求出的最小值．

【解答】解：甲班学生成绩的中位数是80+x=81，得x=1；

由茎叶图可知乙班学生的总分为76+80×3+90×3+（0+2+y+1+3+6）=598+y，

乙班学生的平均分是86，且总分为86×7=602，所以y=4，

若正实数a、b满足：a，G，b成等差数列且x，G，y成等比数列，

则xy=G2，2G=a+b，即有a+b=4，a＞0，b＞0，

则+=（a+b）（+）=（1+4++）≥（5+2）=×9=，

当且仅当b=2a=时，的最小值为．

【点评】本题考查了基本不等式和等差、等比数列的应用问题，也考查了中位数和平均数的定义，是中档题．

12．（5分）若对于任意的正实数x，y都有成立，则实数m的取值范围为（　　）

A．B．C．D．

【分析】根据题意对于（2x﹣）•ln≤，可化为（2e﹣）ln≤，设t=，设f（t）=（2e﹣t）lnt，根据导数和函数的最值的关系即可求出

【解答】解：根据题意，对于（2x﹣）•ln≤，变形可得（2x﹣）ln≤，

即（2e﹣）ln≤，

设t=，则（2e﹣t）lnt≤，t＞0，

设f（t）=（2e﹣t）lnt，（t＞0）

则其导数f′（t）=﹣lnt+﹣1，

又由t＞0，则f′（t）为减函数，且f′（e）=﹣lne+﹣1=0，

则当t∈（0，e）时，f′（t）＞0，f（t）为增函数，

当t∈（e，+∞）时，f′（t）＜0，f（t）为减函数，

则f（t）的最大值为f（e），且f（e）=e，

若f（t）=（2e﹣t）lnt≤恒成立，必有e≤，

解可得0＜m≤，即m的取值范围为（0，]；

故选：D．

【点评】本题考查函数导数的应用，关键是转化和构造函数f（t），求出其最小值，属于中档题

二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）

13．（5分）设变量x，y满足约束条件则目标函数z=4x﹣y的最小值为　1　．

【分析】先根据条件画出可行域，再利用z=4x﹣y，几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距最大，只需求出直线z=4x﹣y，过可行域内的点A时的最小值，从而得到z最小值即可．

【解答】解：设变量x，y满足约束条件在坐标系中画出可行域三角形，

平移直线4x﹣y=0经过点A（1，3）时，4x﹣y最小，最小值为：1，

则目标函数z=4x﹣y的最小值：1．

故答案为：1．

【点评】借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．

14．（5分）如果直线ax+2y+3a=0与直线3x+（a﹣1）y=a﹣7平行，则a=　3　．

【分析】利用直线与直线平行的性质直接求解．

【解答】解：∵直线ax+2y+3a=0与直线3x+（a﹣1）y=a﹣7平行，

∴，

解得a=3．

故答案为：3．

【点评】本题考查实数值的求法，考查直线与直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．

15．（5分）已知数列{an}满足，且a1+a2+a3+…+a10=1，则log2（a101+a102+…+a110）=　10　．

【分析】由，得到数列{an}是公比q=2的等比数列，根据等比数列的性质以及对数的运算性质进行求解即可．

【解答】解：∵，

∴log2an+1﹣log2an=1，即，

∴．

∴数列{an}是公比q=2的等比数列．

则a101+a102+…+a110=（a1+a2+a3+…+a10）q10=210，

∴log2（a101+a102+…+a110）=．

故答案为：10．

【点评】本题考查了等比数列的性质，考查了对数的运算性质，是中档题．

16．（5分）已知双曲线的右焦点为F，过点F向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M，交另一条渐近线于N，若，则双曲线的渐近线方程为　y=±x　．

【分析】由题意得右焦点F（c，0），设一渐近线OM的方程为y=x，则另一渐近线ON的方程为y=﹣x，由垂直的条件可得FM的方程，代入渐近线方程，可得M，N的横坐标，由向量共线的坐标表示，结合离心率公式，解方程可得渐近线方程．

【解答】解：由题意得右焦点F（c，0），

设一渐近线OM的方程为y=x，

则另一渐近线ON的方程为y=﹣x，

由FM的方程为y=﹣（x﹣c），

联立方程y=x，

可得M的横坐标为，

由FM的方程为y=﹣（x﹣c），联立方程y=﹣x，

可得N的横坐标为．

由2=，

可得2（﹣c）=﹣c，

即为﹣c=，

由e=，可得﹣1=，

即有e4﹣5e2+4=0，解得e2=4或1（舍去），

即为e=2，即c=2a，b=a，

可得渐近线方程为y=±x，

故答案为：y=±x．

【点评】本题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用：求渐近线方程，同时考查向量的共线的坐标表示，求得点M、N的横坐标是解题的关键．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccosB=2a+b．

（1）求角C；

（2）若△ABC的面积为，求ab的最小值．

【分析】（1）利用正弦定理即可求得cosC=﹣，由C的取值范围，即可求得C；

（2）根据三角形的面积公式，求得c=ab，利用余弦定理及基本不等式的性质即可求得ab的最小值．

【解答】解：（1）由正弦定理可知：===2R，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，

由2ccosB=2a+b，则2sinCcosB=2sin（B+C）+sinB，

∴2sinBcosC+sinB=0，

由0＜B＜π，sinB≠0，cosC=﹣，

0＜C＜π，则C=；

（2）由S=absinC=c，则c=ab，

由c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2+ab，∴=a2+b2+ab≥3ab，

当且仅当a=b时取等号，

∴ab≥12，

故ab的最小值为12．

【点评】本题考查正弦定理及余弦定理的应用，考查三角形的面积公式及基本不等式的性质，考查转化思想，属于中档题．

18．（12分）2017年10月份郑州市进行了高三学生的体育学业水平测试，为了考察高中学生的身体素质比情况，现抽取了某校1000名（男生800名，女生200名）学生的测试成绩，根据性别按分层抽样的方法抽取100名进行分析，得到如下统计图表：

男生测试情况：

女生测试情况

（1）现从抽取的1000名且测试等级为“优秀”的学生中随机选出两名学生，求选出的这两名学生恰好是一男一女的概率；

（2）若测试等级为“良好”或“优秀”的学生为“体育达人”，其它等级的学生（含病残免试）为“非体育达人”，根据以上统计数据填写下面列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“是否为体育达人”与性别有关？

临界值表：

附：（，其中n=a+b+c+d）

【分析】（1）按分层抽样计算男生、女生应抽的人数，用列举法计算基本事件数，求出所求的概率值；

（2）填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论．

【解答】解：（1）按分层抽样男生应抽取80名，女生应抽取20名；

∴x=80﹣（5+10+15+47）=3，

y=20﹣（2+3+10+2）=3；

抽取的100名且测试等级为优秀的学生中有三位男生，设为A，B，C；

两位女生设为a，b；从5名任意选2名，总的基本事件有

AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共10个；

设“选出的两名学生恰好是一男一女为事件A”；

则事件包含的基本事件有Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb共6个；

∴P（A）==；

（2）填写2×2列联表如下：

则K2=≈9.091；

∵9.091＞6.635且P（K2≥6.635）=0.010，

∴在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“是否为‘体育达人’与性别有关”．

【点评】本题考查了列举法求古典概型的概率问题，也考查了独立性检验的应用问题，是中档题．

19．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AB=6，，，D，E为线段AB上的点，且AD=2DB，PD⊥AC．

（1）求证：PD⊥平面ABC；

（2）若，求点B到平面PAC的距离．

【分析】（1）连接CD，推导出CD⊥AB，CD⊥PD，由此能证明PD⊥平面ABC．

（2）设点B到平面PAC的距离为d，由VE﹣PAC=VP﹣AEC，能求出点B到平面PAC的距离．

【解答】证明：（1）连接CD，据题知AD=4，BD=2，

∵AC2+BC2=AB2，∴∠ACB=90°，∴cos，

∴=8，∴CD=2，

∴CD2+AD2=AC2，∴CD⊥AB，

又∵平面PAB⊥平面ABC，∴CD⊥平面PAB，∴CD⊥PD，

∵PD⊥AC，CD∩AC=C，∴PD⊥平面ABC．

解：（2）∵，∴PD=AD=4，∴PA=4，

在Rt△PCD中，PC==2，

∴△PAC是等腰三角形，∴，

设点B到平面PAC的距离为d，

由VE﹣PAC=VP﹣AEC，得，

∴d==3，

故点B到平面PAC的距离为3．

【点评】本题考查线面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．

20．（12分）已知圆C：x2+y2+2x﹣2y+1=0和抛物线E：y2=2px（p＞0），圆心C到抛物线焦点F的距离为．

（1）求抛物线E的方程；

（2）不过原点的动直线l交抛物线于A，B两点，且满足OA⊥OB．设点M为圆C上任意一动点，求当动点M到直线l的距离最大时的直线l方程．

【分析】（1）直接利用定义求出抛物线的方程．

（2）利用直线和抛物线的位置关系，建立方程组，进一步利用一元二次方程根与系数的关系建立等量关系，最后利用最大值求出直线的方程．

【解答】解：（1）圆C：x2+y2+2x﹣2y+1=0可化为（x+1）2+（y﹣1）2=1，

则圆心为（﹣1，1）．

抛物线E：y2=2px（p＞0），焦点坐标F（），

由于：圆心C到抛物线焦点F的距离为．

则：，

解得：p=6．

故抛物线的方程为：y2=12x

（2）设直线的方程为x=my+t，A（x1，y1），B（x2，y2），

则：，

整理得：y2﹣12my﹣12t=0，

所以：y1+y2=12m，y1y2=﹣12t．

由于：OA⊥OB．

则：x1x2+y1y2=0．

即：（m2+1）y1y2+mt（y1+y2）+t2=0．

整理得：t2﹣12t=0，

由于t≠0，

解得t=12．

故直线的方程为x=my+12，

直线经过定点（12，0）．

当CN⊥l时，即动点M经过圆心C（﹣1，1）时到直线的距离取最大值．

当CP⊥l时，即动点M经过圆心C（﹣1，1）时到动直线L的距离取得最大值．

kMP=kCP=﹣，

则：m=．

此时直线的方程为：x=，

即：13x﹣y﹣156=0．

【点评】本题考查的知识要点：抛物线的方程的求法，直线和曲线的位置关系的应用，一元二次方程根与系数的关系的应用，直线的方程的求法．

21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣a（x+1），a∈R在（1，f（1））处的切线与x轴平行．

（1）求f（x）的单调区间；

（2）若存在x0＞1，当x∈（1，x0）时，恒有成立，求k的取值范围．

【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；

（2）问题转化为可化为lnx﹣+x﹣＞k（x﹣1），令g（x）=lnx﹣+x﹣﹣k（x﹣1），（x＞1），通过讨论k的范围，求出函数的单调区间，从而确定k的范围即可．

【解答】解：（1）由已知可得f（x）的定义域为（0，+∞），

∵f′（x）=﹣a，∴f′（1）=1﹣a=0，解得：a=1，

∴f′（x）=，

令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1，

故f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减；

（1）不等式f（x）﹣+2x+＞k（x﹣1）

可化为lnx﹣+x﹣＞k（x﹣1），

令g（x）=lnx﹣+x﹣﹣k（x﹣1），（x＞1），

g′（x）=，

∵x＞1，令h（x）=﹣x2+（1﹣k）x+1，

h（x）的对称轴是x=，

①当≤1时，即k≥﹣1，

易知h（x）在（1，x0）上递减，

∴h（x）＜h（1）=1﹣k，

若k≥1，则h（x）≤0，

∴g′（x）≤0，

∴g（x）在（1，x0）递减，

∴g（x）＜g（1）=0，不适合题意．

若﹣1≤k＜1，则h（1）＞0，

∴必存在x0使得x∈（1，x0）时，g′（x）＞0，

∴g（x）在（1，x0）递增，

∴g（x）＞g（1）=0恒成立，适合题意．

②当＞1时，即k＜﹣1，

易知必存在x0使得h（x）在（1，x0）递增，

∴h（x）＞h（1）=1﹣k＞0，

∴g′（x）＞0，∴g（x）在（1，x0）递增，

∴g（x）＞g（1）=0恒成立，适合题意．

综上，k的取值范围是（﹣∞，1）．

【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．

22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l过点（1，0），倾斜角为α，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是．

（1）写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；

（2）若，设直线l与曲线C交于A，B两点，求△AOB的面积．

【分析】（1）直接把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化．

（2）利用点到直线的距离公式和三角形的面积公式求出结果．

【解答】（1）直线L的参数方程为：（α为参数）．

曲线C的极坐标方程是，

转化为直角坐标方程为：y2=8x

（2）当时，直线l的参数方程为：（t为参数），

代入y2=8x得到：．（t1和t2为A和B的参数），

所以：，t1t2=﹣16．

所以：．

O到AB的距离为：d=．

则：=．

【点评】本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，点到直线的距离公式的应用，三角形面积公式的应用．

23．设函数f（x）=|x+3|，g（x）=|2x﹣1|．

（1）解不等式f（x）＜g（x）；

（2）若2f（x）+g（x）＞ax+4对任意的实数x恒成立，求a的取值范围．

【分析】（1）两边平方求出不等式的解集即可；

（2）设h（x）=2f（x）+g（x），通过讨论x的范围，分离a，根据函数的单调性求出a的范围即可．

【解答】解：（1）由已知得|x+3|＜|2x﹣1|，

即|x+3|2＜|2x﹣1|2，

则有3x2﹣10x﹣8＞0，

∴x＜﹣或x＞4，

故不等式的解集是（﹣∞，﹣）∪（4，+∞）；

（2）由已知，设h（x）=2f（x）+g（x）=2|x+3|+|2x﹣1|

=，

当x≤﹣3时，只需﹣4x﹣5＞ax+4恒成立，

即ax＜﹣4x﹣9，

∵x≤﹣3＜0，

∴a＞=﹣4﹣恒成立，

∴a＞，∴a＞﹣1，

当﹣3＜x＜时，只需7＞ax+4恒成立，

即ax﹣3＜0恒成立，

只需，

∴，

∴﹣1≤a≤6，

当x≥时，只需4x+5＞ax+4恒成立，

即ax＜4x+1，

∵x≥＞0，∴a＜=4+恒成立，

∵4+＞4，且无限趋近于4，

∴a≤4，

综上，a的取值范围是（﹣1，4]．

【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．

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