例1 解下列不等式
(1)(x-1)(3-x)<5-2x
(2)x(x+11)≥3(x+1)2
(3)(2x+1)(x-3)>3(x2+2)
分析 将不等式适当化简变为ax2+bx+c>0(<0)形式,然后根据“解公式”给出答案(过程请同学们自己完成).
答 (1){x|x<2或x>4}
解关于x的不等式
(x-2)(ax-2)>0.
分析 不等式的解及其结构与a相关,所以必须分类讨论.
解 1° 当a=0时,原不等式化为
x-2<0其解集为{x|x<2};
当a=1时,原不等式化为(x-2)2>0,其解集是{x|x≠2};
从而可以写出不等式的解集为:
a=0时,{x|x<2};
a=1时,{x|x≠2};
说明:讨论时分类要合理,不添不漏.
例2 若不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|α
分析 由一元二次函数、方程、不等式之间关系,一元二次不等式的解集实质上是用根来构造的,这就使“解集”通过“根”实现了与“系数”之间的联系.考虑使用韦达定理:
解法一 由解集的特点可知a<0,根据韦达定理知:
∵a<0,∴b>0,c<0.
解法二 ∵cx2+bx+a=0是ax2+bx+a=0的倒数方程.
且ax2+bx+c>0解为α
说明:要在一题多解中锻炼自己的发散思维.
分析 将一边化为零后,对参数进行讨论.
进一步化为(ax+1-a)(x-1)<0.
(1)当a>0时,不等式化为
(2)a=0时,不等式化为x-1<0,即x<1,所以不等式解集为{x|x<1};
例3 绝对值大于2且不大于5的最小整数是
[ ]
A.3 B2
C.-2 D5
分析 列出不等式.
解 根据题意得2<|x|≤5.
从而-5≤x<-2或2
答 选D.
例3 不等式4<|1-3x|≤7的解集为________.
分析 利用所学知识对不等式实施同解变形.
解 原不等式可化为4<|3x-1|≤7,即4<3x-1≤7或-7
例4 已知集合A={x|2<|6-2x|<5,x∈N},求A.
分析 转化为解绝对值不等式.
解 ∵2<|6-2x|<5可化为
2<|2x-6|<5
因为x∈N,所以A={0,1,5}.
说明:注意元素的限制条件.
例5 实数a,b满足ab<0,那么
[ ]
A.|a-b|<|a|+|b|
B.|a+b|>|a-b|
C.|a+b|<|a-b|
D.|a-b|<||a|+|b||
分析 根据符号法则及绝对值的意义.
解 ∵a、b异号,
∴ |a+b|<|a-b|.
答 选C.
例6 设不等式|x-a|
[ ]
A.a=1,b=3
B.a=-1,b=3
C.a=-1,b=-3
分析 解不等式后比较区间的端点.
解 由题意知,b>0,原不等式的解集为{x|a-b
答 选D.
说明:本题实际上是利用端点的位置关系构造新不等式组.
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