.
其中S表示棱柱的底面面积,其中表示球的半径.
h表示棱柱的高.
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1)设集合,则
(A) (B)(C)(D)
【答案】
【解析】 ,选B.
(2)设变量满足约束条件则目标函数的最大值为
(A) (B)1(C) (D)3
【答案】
【解析】目标函数为四边形ABCD及其内部,其中,所以直线过点B时取最大值3,选D.
(3)阅读右面的程序框图,运行相应的程序,若输入的值为24,则输出的值为
(A)0 (B)1(C)2(D)3
【答案】
【解析】依次为 ,,输出 ,选C.
(4)设,则“”是“”的
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件
【答案】
(5)已知双曲线的左焦点为,离心率为.若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为
(A) (B)(C)(D)
【答案】
【解析】由题意得 ,选B.
(6)已知奇函数在R上是增函数,.若,,,则a,b,c的大小关系为
(A) (B) (C) (D)
【答案】
(7)设函数,,其中,.若,,且的最小正周期大于,则
(A), (B), (C), (D),
【答案】
【解析】由题意,其中,所以,又,所以,所以,,由得,故选A.
(8)已知函数设,若关于x的不等式在R上恒成立,则a的取值范围是
(A) (B) (C) (D)
【答案】
所以,
综上.故选A.
第Ⅱ卷
注意事项:
1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2.本卷共12小题,共110分。www.ccutu.com
二. 填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
(9)已知,i为虚数单位,若为实数,则a的值为 .
【答案】
【解析】为实数,
则.
(10)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为 .
【答案】
【解析】设正方体边长为 ,则 ,
外接球直径为
(11)在极坐标系中,直线与圆的公共点的个数为___________.
【答案】2
【解析】直线为 ,圆为 ,因为 ,所以有两个交点
(12)若,,则的最小值为___________.
【答案】
【解析】 ,当且仅当时取等号
(13)在中,,,.若,,且,则的值为___________.
【答案】
(14)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有___________个.(用数字作答)
【答案】
【解析】
三. 解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
在中,内角所对的边分别为.已知,,.
(Ⅰ)求和的值;
(Ⅱ)求的值.
【答案】 (1) .(2)
16.(本小题满分13分)
从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为.
(Ⅰ)设表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量的分布列和数学期望;
(Ⅱ)若有2辆车独立地从甲地到乙地,求这2辆车共遇到1个红灯的概率.
【答案】 (1) (2)
【解析】(Ⅰ)随机变量的所有可能取值为0,1,2,3.
,
,
,
.
所以,随机变量的分布列为
0 | 1 | 2 | 3 | |
随机变量的数学期望.
(Ⅱ)设表示第一辆车遇到红灯的个数,表示第二辆车遇到红灯的个数,则所求事件的概率为
.
所以,这2辆车共遇到1个红灯的概率为.
(17)(本小题满分13分)
如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,.点D,E,N分别为棱PA,PC,BC的中点,M是线段AD的中点,PA=AC=4,AB=2.
(Ⅰ)求证:MN∥平面BDE;
(Ⅱ)求二面角C-EM-N的正弦值;
(Ⅲ)已知点H在棱PA上,且直线NH与直线BE所成角的余弦值为,求线段AH的长.
【答案】 (1)证明见解析(2) (3) 或
(Ⅰ)证明:=(0,2,0),=(2,0,).设,为平面BDE的法向量,
则,即.不妨设,可得.又=(1,2,),可得.
所以,线段AH的长为或.
18.(本小题满分13分)
已知为等差数列,前n项和为,是首项为2的等比数列,且公比大于0,,,.
(Ⅰ)求和的通项公式;
(Ⅱ)求数列的前n项和.
【答案】 (1)..(2).
【解析】(I)设等差数列的公差为,等比数列的公比为.
由,,有,
故,
,
上述两式相减,得
得.
所以,数列的前项和为.
(19)(本小题满分14分)
设椭圆的左焦点为,右顶点为,离心率为.已知是抛物线的焦点,到抛物线的准线的距离为.
(I)求椭圆的方程和抛物线的方程;
(II)设上两点,关于轴对称,直线与椭圆相交于点(异于点),直线与轴相交于点.若的面积为,求直线的方程.
【答案】 (1), .(2),或.
【解析】(Ⅰ)解:设的坐标为.依题意,,,,解得,,,于是.
所以,椭圆的方程为,抛物线的方程为.
所以,直线的方程为,或.
(20)(本小题满分14分)
设,已知定义在R上的函数在区间内有一个零点,为的导函数.
(Ⅰ)求的单调区间;
(Ⅱ)设,函数,求证:;
(Ⅲ)求证:存在大于0的常数,使得对于任意的正整数,且 满足.
【答案】(1)增区间是,,减区间是.(2)(3)证明见解析
【解析】(Ⅰ)由,可得,
进而可得.令,解得,或.
当x变化时,的变化情况如下表:
x | |||
+ | - | + | |
↗ | ↘ | ↗ |
所以,的单调递增区间是,,单调递减区间是.
(Ⅱ)证明:由,得,
.
(III)证明:对于任意的正整数 ,,且,
令,函数.
由(II)知,当时,在区间内有零点;
当时,在区间内有零点.
所以.所以,只要取,就有.